Лекция 1
Наращение
по простым процентным ставкам.
Погашение задолженности частями
С.А. Сьянов. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА
Бизнес (по-русски - дело) требует умения правильно оценивать
финансовые последствия при совершении сделок. Общее, универсальное правило в
бизнесе состоит в том, что цена сбыта выше цены приобретения (независимо от
того реальна или нет добавочная стоимость в содержании товара или услуги).
Деньги, денежные
средства, как универсальный эквивалент материального обращения, в отличие от
других универсальных человеческих ценностей, таких как красота, талант,
здоровье, знания, квалификация, общение могут быть заимствованы(!)
Заимствование - простейший вид финансовой сделки (операции) заключающийся в
предоставлении некоторой суммы в долг, с условием возврата через какое-то время
и, как правило, в большем объеме.
Возврат денег в большем объеме, наращение суммы исходного долга к моменту возврата,
обусловлено фактором неравноценности денег относительно различных моментов
времени.
Временная ценность денег (от слова время, а не временно) является объективно существующей характеристикой денежных
ресурсов в условиях рынка(!) <Время - деньги>. Неравноценность денег во времени
проявляется тогда, когда есть возможность их превращения в капитал, т.е. должна
существовать возможность инвестиций. Иными словами - возможность изъять
денежные средства из потребления и пустить их в оборот <деньги-товар-деньги>,
который через некоторое время вернет вложенные деньги с прибылью. Важно то, что
временная ценность денег актуальна только при наличии возможности их вложения,
приносящего их рост.
Таким образом, в силу различной ценности денег во времени
при рассмотрении финансовых вопросов ВСЕГДА следует рассматривать величину
денежных средств в привязке к моменту времени в
который данная сумма средств возникает. Часто употребляют термин датированная
сумма.
Процесс увеличения с течением
времени значения какой-либо величины, например, задолженности или величины
вклада, в финансовой математике обозначают термином <наращение>.
Так в случае коммерческого
заимствования денег, взятая в долг сумма P как правило
должна быть возвращена в большем объёме S, то есть исходная сумма долга
вырастет к моменту возврата долга. [s1]
Разница между взятой в долг суммой P и возвращенной в большем объеме суммой
S называется процентными деньгами,
процентом I.
Процентные деньги
Процентные деньги, или проценты I - абсолютная величина дохода от
предоставления денежных средств в долг.
I = S(t) - P, (1.1)
где
S(t) - сумма возвращенных средств;
P - сумма, предоставленная в долг;
t - время на которое предоставлены деньги в долг;
I - сумма
процентных денег или проценты.
Определение:
процентные и деньги (проценты) равны разнице между наращенной исходной суммами.
Вот примеры некоторых финансовых
операций, при которых, как правило, уплачиваются процентные деньги:
· ссуда - передача денег по договору займа на условиях
возврата;
· коммерческий кредит - предоставление товара покупателю
с отсрочкой его оплаты;
· помещение денег на депозит- вклад денег в банки и
сберегательные кассы;
· учет векселя - досрочная выплата суммы, меньше
обозначенной в векселе;
· погашение сберегательного сертификата - выплата
депонируемых средств с процентами.
Финансовые операции подразумевают
наличие как минимум двух сторон сделки, которые друг перед другом несут
определенные финансовые обязательства. При этом должен соблюдался принцип финансовой эквивалентности, т.е.
стороны должны нести эквивалентные финансовые обязательства.
Например, покупатель оплачивает рыночную цену облигации, а эмитент обязуется
периодически выплачивать покупателю купонный доход и вернуть в конце срока
сумму, равную номиналу облигации. При этом финансовые обязательства сторон
эквивалентны и принцип финансовой эквивалентности соблюден.
Другой пример: страхователь оплачивает страховую премию, а страховщик обязуется выплатить
страховую сумму, при наступлении страхового события. В отличие от первого
примера, где платежи обеих сторон безусловны, платеж страховщика имеет
вероятностный характер. Следовательно, финансовой эквивалентности обязательств
каждой из сторон друг перед другом в данном случае нет.
Из принципа финансовой
эквивалентности следует, что при обоюдном согласии сторон возможно изменение
условий сделки (перенос сроков, изменение величины выплат, процентных ставок)
без нарушения при этом взаимной ответственности. Соблюдение принципа финансовой
эквивалентности требует определения ключевых характеристик финансовых операций
и навыка разбираться во влиянии различных параметров на результат финансовой
операции.
Процентная ставка
Оценка привлекательности различных
финансовых операций (займа, вклада и т.п.), сравнение их между собой
сталкивается с необходимостью сравнивать различные по описанию операции с
различными сроками проведения, различными по величине суммами. Эту трудность
можно преодолеть, определив некоторые универсальные показатели, которые смогут
охарактеризовать каждую (любую) финансовую операцию. Сами показатели должны
иметь количественное выражение для их сравнения для разных случаев и обладать
универсальностью, независимостью от частных условий.
Рассмотрим операцию займа. Пусть
сумма займа P, а S сумма, которая должна быть уплачена через время t в погашение
займа, больше P на величину процентных денег
I.
Рассматривая такого рода операции,
предусматривающие наращение исходной суммы (наращенная сумма S = начальной сумме P плюс процентные деньги I),
для удобства сравнения привлекательности операций используют понятие <нормы наращения> (нормы). Под нормой
(наращения) для произвольного периода времени понимают отношение процентных
денег к исходной сумме.
Однако,
чаще пользуются термином процентная
ставка наращения i. Ее определяют как
относительную величину, не зависящую от значений абсолютных величин фигурирующих
при этом средств P и S, а именно - как отношение процентных
денег к первоначально вложенным, при этом обязательно
оговаривают тот период времени, на котором определяется ставка:
i = (S(t) - P)/P = I/P, (1.2)
где
i -
величина процентной ставки;
I - процентные деньги, полученные в результате
проведения операции.
Из (1.2) легко видеть, что величину
процентных денег I можно определить
как произведение ставки наращения i на исходную сумму задолженности P, которую при этом называют <базой> начисления процентов: I = i ´ P.
Определение: Ставка наращения равна отношению процентных денег к
исходной сумме.
Ставка наращения i - мера, характеризующая
величину процентных денег. Чем больше значение i, тем большие процентные деньги даст исходная сумма при прочих
равных условиях. В этом смысле ставка наращения i является ценой возможного
размещения средств, размещения приносящего процентные деньги I.
В практике финансовых расчетов
встречается такие термины как <цена
денег>, или <стоимость средств>
(равная i),
что подразумевает доходы/расходы от размещения/обслуживания указанных денежных
средств по указанной ставке i.
Часто пользуются еще одним
показателем - коэффициентом наращения k, определяя его как отношение наращенной суммы S к
первоначальной P:
k = S/P. (1.3)
То есть коэффициент наращения
показывает, во сколько раз возросла первоначальная сумма.
Определение: Коэффициент (множитель) наращения равен отношению
наращенной и исходной сумм.
Чтобы и дальше иметь корректное
сравнение финансовых операций по величине процентных ставок i для разных по длительности
операций необходимо, чтобы ставки были определены (или пересчитаны) на
одинаковом периоде времени T. В
качестве такого периода, как правило (если отдельно не оговорено иное), берут
год, и ставки называют годовыми. Таким образом, период T (год, квартал, месяц), на котором определена ставка начисления -
является временной базой начисления
процентов для ставки i.
Определение: Временная база начисления ставки - период времени на котором определена ставка.
Правила исчисления дней в
году
и длительности финансовой операции
Принято считать, что T - временная база начисления процентов
равна году, при этом существует два подхода к определению количества дней в году:
1) обыкновенный, коммерческий
подход, при котором T = 360 дней;
2) точный, действительный
подход, при котором T = 365
дней.
Число дней рассматриваемой операции
также можно считать двумя способами:
1) приближенно - 12 месяцев по 30
дней,
2) точно - от даты начала операции
до даты окончания с точностью до дня.
Из вышеприведенного вытекают три
варианта исчисления дней в году и длительности финансовой
операции:
1. Банковский (точный) 365/365 - считается, что число дней в году
равно 365, и срок проведения финансовой операции считается с точностью до дня.
2. Обыкновенный 365/360 - число дней в году считается равным
360 = 12 ´ 30, а срок
проведения финансовой операции определяется с точностью до дня.
3. Коммерческий 360/360 - полагают, что дней в году 360, и в месяце считается 30
дней.
Результаты вычислений указанными
способами не всегда совпадают.
Например, при ставке i и сроке ссуды с
01.02 по 01.03 коэффициент наращения несколько различный:
1) k365/365 = 1 + i ´ t/T = 1 + i
´ 28/365 = 1 + i ´ 0,07671;
2) k365/360 = 1 + i ´ t/T = 1 + i
´ 28/360 = 1 + i ´ 0,07777;
3) k360/360 =
1 + i ´ t/T = 1 + i ´ 30/360 = 1 + i ´ 0,08333.
Разница в значении коэффициента
наращения проявляется во втором знаке после запятой, во втором порядке.
Следует отметить, что во всех
случаях в расчетах должны оговариваться правила округления вычисляемых
результатов. Например, результат вычислений округляем с точностью до рубля,
прибавляя единицу, если дробная часть превосходит 0,5.
Разницу, получаемую при вычислениях
в каждом из трех подходов, можно не учитывать, если величина погрешности в
принятых правилах округления конечного результата превосходит различие в
результатах при использовании каждого из подходов.
Виды процентных ставок
Процентные ставки характеризуются
рядом признаков, таких как база начисления, принцип начисления, период
начисления, а также свойствами их величины. Поэтому их различают на:
- простые и сложные процентные
ставки;
- декурсивные
и антисипативные ставки;
- фиксируемые и плавающие ставки;
- годовые, квартальные и др. ставки.
Существуют универсальные, базовые
ставки:
- ставка рефинансирования ЦБ;
- номинальная ставка;
- эффективная ставка.
Ставка - количественная величина, с
помощью которой принято сравнивать (измерять) финансовые операции. Рассмотрим
пример сравнения двух разных финансовых операций с использованием ставок
наращения i.
ПРИМЕР.
Первая операция P1 = 220, S1
= 275, t1 = 1 год.
Вторая операция P2 = 190, S2
= 280, t2 = 1,5 года.
Пользуясь выражением (1.2),
определим годовые ставки по обоим операциям. В первом
случае i1 = (S1 - P1)/P1
= 0,25 за год, во втором случае i = (S2 - P2)/P2
= 0,47 за полтора года, годовая же ставка i2
= 0,31.
Таким образом, сравнивая полученные
значения годовых ставок по величине, получаем, что первая операция менее
выгодна, чем вторая.
Наращение
по простым процентным ставкам
Под наращенной суммой ссуды (долга,
депозита) S понимают первоначальную
сумму P с процентами I, начисленными к концу срока ссуды.
В случае, когда срок ссуды t больше периода
начисления T (для простоты будем
считать, что t = T
´ n, где n - целое число) в конце первого периода начисления
наращенная сумма увеличится на величину процентов, начисленных за первый период,
и будет равна:
S1 = P + I1,
где
I1 = i ´ P -
проценты, начисленные за первый период T,
i -
процентная ставка.
Множитель (коэффициент) наращения
будет равен
k = S1/P =
(P + I1)/P =
1 + i. (1.4)
Если начисление
процентов I в каждом из периодов T осуществляется на исходную сумму P, то величина процентов, начисленных за
каждый период T, всегда будет равна i ´
P. Иными словами, база начисления в
этом случае всегда равна первоначальной сумме, а величина процентов I одинакова в каждом из последующих периодов
начисления T, на котором определена
ставка начисления процентов i.
Такой способ начисления процентов
представляет собой правило начисления
простых процентов (прил. 1).
Определение: При начислении простых процентов база начисления
всегда равна первоначальной сумме, а величина процентов I одинакова в каждом из последующих периодов начисления T, на котором определена ставка
начисления процентов i.
Таким образом, согласно этому
правилу, за n
периодов результирующее наращение равно сумме всех процентов, начисленных за
прошедшие n
периодов начисления
Iобщ = I1 + I2 + I3
+ ... + In = n ´ P ´ i. (1.5)
Наращенная сумма S
определится по формуле
S = P + Iобщ
= P + n ´ P ´ I = P ´ (1 + n ´ i), (1.6)
а множитель
наращения будет равен
k = S/P = (P + n ´ P ´ i)/P = 1 + n ´ i. (1.7)
В формулах (1.5) - (1.7) n =
t/T - целое
число периодов начисления, T - период начисления, t - время размещения ссуды (для простоты считается кратным
T.)
ПРИМЕР:
Найти величину процентов и значение множителя наращения для случая начисления
простых процентов за 3, 7 и 18 лет по годовой ставке 0,25 на депозит в размере
240 090 руб.
Таблица 1.1
|
Показатель |
3 года |
7 лет |
18 лет |
|
Проценты
I |
180 067,50 руб. |
420 157,50 руб. |
1 080 405,00 руб. |
|
Множитель
наращения k |
1,75 |
2,75 |
5,5 |
Следует отметить, что ставка
начисления i здесь представляет собой десятичную дробь, которую
часто выражают в процентах. Связь дробного значения i и
процентного представления ставки i% определяется выражением
i= i%/100%. (1.8)
Воспользуемся выражением (1.6)
откуда следует, что Iобщ =n ´ P ´ i, а так же выражением (1.7) полученные
результаты приведены в табл. 1.1.
Упражнения
1. Выразить
следующие проценты в виде соответствующих натуральных и десятичных дробей с
точностью до четвертого десятичного знака: a) 4%, b) 2 1/4%, c) 3,2%, d) 3 1/3%, e) 0,8%, f) 1/6%. Ответ: a) 0,0445, b)
2 1/400, c) 0,0329, d) 3 1/300, e) 0,0081 % , f) 1/600.
2. Представить каждую из следующих
дробей в виде процентов с точностью до сотой доли процента; a)
0,035, b) 3/40, c) 0,04, d) 5/16, e) 8,40/280, f) 40/1250. Ответ: ; a) 3,5% , b) 7,5%, c) 4% , d) 31,25%, e) 3%, f) 3,2%.
3. Найти значения коэффициента
наращения и выразить результат в виде десятичных дробей: a)
i = 6%, n = 2; b) i = 1/4%, n = 5; c)
i = 5%, t = 4; d) i = 3,2, n = 12; e) i
= 3,2%, n =
8. Ответ: a) k = 1,12; b) k = 3,25; c) k = 1,2; d) k = 1,384; e) k = 1,256.
Начисление процентов
за произвольный период времени
В общем случае, срок ссуды t не обязательно
равен целому числу n
периодов начисления T:
t = n ´ T + t, (1.9)
где t < T.
Величина начисленных процентов в
этом случае будет складываться из процентов I(n ´ T), начисленных
за целое число периодов, и процентов I(t), начисленных за оставшийся срок t:
I =
I(n ´ T) + I(t).
Величина процентов за целое число
периодов I(n ´ T)
определяется (1.6):
I(n ´ T) = P ´ n ´ i,
проценты,
начисленные за оставшееся время t, будут меньше чем проценты за полный период T. Очевидно, что величина процентов за период меньший периода
начисления T будет пропорциональна отношению t/T
I(t)=P ´ (t/T) ´ i.
Таким образом, формула начисления
процентов I за произвольный период
времени t
имеет вид:
I =P ´ n ´ I + P ´ (t/T) ´ I = P ´ (n + t/T) ´ I = P ´ i ´ (t/T), (1.10)
а множитель
наращения k
равен:
k = S/P = (P + I)/P = 1 + (t/T) ´ I = 1 + (n + t/T) ´ i. (1.11)
Окончательно формула начисления
простых процентов за произвольный период времени принимает вид
S =
P ´ (1 + (t/T) ´ i). (1.12)
Если период
времени начисления процентов меньше, чем период T на котором определена ставка i, выражение (1.12) принимает вид
S = P + I(t) = P ´ (1 + (t/T) ´ i). (1.13)
ПРИМЕР: Рассчитать величину
процентов, начисляемых на депозит P = 645 120
руб. по ставке i = 23,8% с периодом начисления
360 дней за сроки, приведенные в табл. 1.2.
Таблица 1.2
|
Показатель |
25 дней |
65 дней |
121 день |
438 дней |
|
Начисленные
проценты I |
10 662,40р. |
27 722,24р. |
51 606,01р. |
187 008,48р. |
|
Множитель
наращения k |
1,0165 |
1,0430 |
1,0800 |
1,2896 |
ПРИМЕР 1.
Найти удержанные проценты за ссуду 3 000 руб., начисленные за 5 месяцев по
простой ставке 7% годовых.
Решение: Мы
имеем исходную сумму долга по ссуде P = 3 000, ставку наращения по ссуде i = 0,07 и t/T = 5/12. Таким образом, проценты, начисленные к концу
срока ссуды, будут равны I = P ´ I ´ t/T = 3 000 ´ 0,07 ´ (5/12) = 87,5 руб.
ПРИМЕР 2.
Найти проценты и итоговую сумму, если 5 000 руб. даны взаймы на 100 дней
при простой ставке 4% годовых.
Решение:
Исходная сумма P = 5 000
руб., годовая ставка простых процентов i = 0,04
и отношение срока операции к периоду, где определена ставка t/T = 100/365. Тогда процентные деньги в конце займа I = 5 000 ´ 0,04 ´ (100/365) = 54,8 руб. Общая сумма долга по займу
соответственно будет равна S = 5 000 + 54,8 =
5 054,8 руб.
ПРИМЕР 3. Человеку, который
инвестировал 100 000 руб., возмещены 101 000 руб. девяносто днями
позже. С какой нормой (ставкой) зарабатывались эти деньги при обыкновенном
простом проценте?
Решение: Исходная сумма инвестиций P = 100 000 руб., сумма средств, вырученная от
инвестиций S = 101 000
руб. и t = 90/360 = 1/4.
Теперь, так как S = P + I, найдем процентные деньги I = S - P = 101 000 - 10 000 = 1 000.
Но из (1.10) I = P ´ i ´ t/T, поэтому i = I/(P
´ t/T) =
1000/(100000 ´ (1/4)) = 0,04, или 4%.
ПРИМЕР 4.
Через 60 дней после займа клиент выплатил ровно 10 000 руб.
Сколько было занято, если
10 000 руб. включают основную сумму и обыкновенный простой процент
при 12% годовых?
Решение:
Общая сумма долга в конце займа S = 10 000,
ставка по долгу i = 0,12 и t/T = 60/360 = 1/6. Подставляя эти значения в
выражение для наращенной суммы S = P ´ (1 + i ´ t), получим
10 000 = P ´ (1,02), откуда
P = 10 000/1,02 = 9 804 руб.
Упражнения
1. Вычислить (1 +
0,07(7/12))5 000 руб. с точностью до 1 руб. Ответ: 5204 руб.
2. Найти величину простых процентов
для займа в 7 000 руб. за 5 месяцев при норме 3%. Ответ: 875 руб.
3. Вычислить 6 000 руб./(1 +
0,05(1/4)) с точностью до 1 руб. Ответ: 6000 руб.
4. Найти проценты и наращенную
сумму, если 17 000 руб. инвестируются на 4 месяца при годовой ставке 3,5%.
Ответ: 198,33 руб., 17198,33 руб.
5. Найти обыкновенный (365/360) и
точный (365/365) простой процент для депозита 4 600 руб. за период с 1
февраля по 30 апреля при ставке 7% годовых. Ответ:
78,71 руб., 77,63 руб.
6. Найти обыкновенный (365/360) простой процент и итоговую сумму для
150 000 руб. при ставе 4% за
90 дней. Ответ: 1500 руб., 151500 руб.
7. Банк начисляет 3,5 руб.
обыкновенного простого (365/360) процента
за использование 300 руб. в течение 60 дней. Какова норма простого процента
сделки? Ответ: 7%.
8. При приобретении товаров
покупатель может заплатить или 500 руб. сразу или 520 руб. через 4 недели. Если
он займет деньги, чтобы заплатить наличными, какая норма простого (365/360) процента может быть допустима для возмещения займа?
Ответ: < 51,42% .
9. Найти сумму долга, если при
окончательном расчете заемщик уплатил через три месяца 4800 руб. при простой
ставке 7% годовых. Ответ: 4717,44 руб.
10. Найти наращенную сумму по вкладу
в 7 000 руб., при простой годовой ставке 8% и t/T
= 1/6. Ответ: 7093,33 руб.
11. Какая исходная сумма приведет к
итогу 7 800 руб. за 5 месяцев, если норма процента равна 8%? Ответ:
7548,38 руб.
12. Определить величину начального
депозита, который приведет к итогу 13 900 руб. через 90 дней при ставке
18% обыкновенного простого (360/360) процента? Ответ: 13309,28 руб.
13. Сколько дней понадобится, чтобы
6 000 руб. <заработали> 100 руб., если они инвестируются при 9%
обыкновенного простого процента? Ответ: 67 дней.
Найти точный и обыкновенный простые
проценты:
14. P = 28 000, I =
7%, t = 189 дней. Ответ: 998,79 руб., 1012,67 руб
15. P = 96 800, I = 6%, t =
227 дней. Ответ: 3612,09 руб., 3662,26 руб.
16. P = 69 500, I = 4,5%, t =
95 дней. Ответ: 556,95 руб.,564,69 руб.
17. P = 18 700, I = 12%, t = 128 дней. Ответ: 686,93 рубю,
797,86 руб.
Начисление
простых процентов m раз за период
В случае, когда на периоде T, где определена ставка наращения i, начисление процентов происходит m раз (рис. 1.1)
рассматривают временной отрезок t1
= T/m. В конце периода t1 согласно (1.10)
начисляются проценты величиной
I1 = (t1/T) ´ i.
0
t1 t2 t3 m
раз tm-1 tm
= T
Рис.1.1
Соответственно наращенная к концу
этого (первого) периода сумма S1
будет равна
S1 = P ´ (1 + (t1/T) ´ i) = P ´ (1 + i/m),
за два таких
периода t2 = 2 ´ T/m соответственно
S2 = P ´ (1 + (t2/T)
´ i) = P ´ (1 + 2 ´ i/m),
за m периодов tm = m ´ T/m
Sm = P ´ (1 + i),
а за
произвольный отрезок времени t
S = P ´ (1 + (t/t0) ´ (i/m)), (1.14),
где
t0 = T/m - период начисления процентов.
Начисление процентов
при различных ставках наращения
Величина ставки начисления процентов
может изменяться в различные периоды времени. Пусть ставка начисления i, с периодом
начисления T, изменяется в течение
времени согласно табл. 1.3.
Таблица 1.3
|
№ п/п |
Величина ставки, % |
Дата |
Количество дней |
|
|
начала действия |
окончания действия |
|||
|
1 |
12,5 |
01.01 |
04.03 |
63 |
|
2 |
14 |
05.03 |
01.06 |
88 |
|
3 |
15 |
02.06 |
02.09 |
92 |
|
4 |
15,8 |
03.09 |
31.12 |
119 |
Исходная сумма долга P за весь период t = t1 + t2 + t3 + t4 возрастет на величину
начисленных за весь период процентов Iобщ. Величина начисленных за весь период
процентов Iобщ
представляет собой сумму процентов Ij, начисленных в каждом периоде по ставке ij,
действующей в этот период времени tj:
Iобщ = I1 + I2 + I3 + I4.
Согласно выражению (1.10),
начисленные в каждом периоде проценты определяются выражением
Ij = P ´ ij ´ tj/T,
где
ij -
значение ставки начисления в соответствующий ей период начисления tj.
Следовательно, формула наращения
исходной суммы P за счет начисления
процентов Ij
по различным в разные периоды времени tj ставкам начисления ij принимает вид:
S = P + P ´ S(ij ´ tj)/T = P ´ (1 + S(ij ´ tj)/T), (1.15)
где
ij - величина ставки начисления за период tj;
j = 1, 2, 3,
4 - число периодов с различными ставками начисления.
ПРИМЕР: Ссуда в размере P = 100 000 руб. выдана заемщику сроком
на год (365/365) ставка по ссуде при этом в течение года менялась согласно
табл. 1.3. Требуется определить величину начисленных процентов для каждого
из значений ставки и сумму процентов, начисленных за год.
|
№ п/п |
Величина ставки, % |
Дата |
Количество дней действия ставки |
Проценты, начисленные по действующей
ставке |
Текущая сумма с учетом начисленных
процентов |
|
|
начала действия ставки |
окончания действия ставки |
|||||
|
1 |
12,50 |
01.01 |
04.04 |
63 |
2 157,53 р. |
102 157,53 р. |
|
2 |
14 |
04.03 |
01.06 |
89 |
3 413,70 р. |
105 571,23 р. |
|
3 |
15 |
01.06 |
02.09 |
93 |
3 821,92 р. |
109 393,15 р. |
|
4 |
15,80 |
02.09 |
31.12 |
120 |
5 194,52 р. |
114 587,67 р. |
Следует отметить, что в общем случае
для различных периодов tj
различными может оказаться не только ставка начисления ij, но и период
начисления Tj
по данной ставке, что тоже необходимо учитывать:
S = P + P ´ S(ij ´ tj)/Tj
= P ´ (1 + S(ij ´ tj)/Tj).
(1.16)
Начисление процентов
при изменении величины депозита
В некоторых случаях по условиям
контракта сумма депозита P может изменяться
по величине, т.е. в течение срока депозита t осуществляются вложения pj и
при этом база начисления процентов увеличивается или осуществляются списания qj и
база начисления процентов уменьшается. Начисление процентов в этом случае
осуществляется по каждому периоду tj в течение, которого величина депозита Rj
(база начисления) не изменяется.
Rj = P +Spj - Sqj,
где
Spj и Sqj - результирующие вложения и списания к началу
периода, в течение которого сумма депозита не меняется.
Величина процентов на каждом периоде
определяется выражением
Ij = R j ´ i ´ t1/T. (1.17)
Говорить о результирующем наращении S за весь период операции в данном
случае нет смысла, поскольку на каждом из периодов tj база начисления изменяется и определяется выражением
S = SSj = P + S(Rj ´ ij ´ tj/T). (1.18)
Величину же начисленных процентов Ij для каждого периода tj можно представить в
виде
Ij = Rj ´ i% ´ tj/T ´ 100%, (1.19)
где
i% - ставка начисления, выраженная в процентах.
Введём
величину
rj = Rj ´ tj/100%. (1.20)
называемую
процентное число и величину
c = T/i%, (1.21)
называемую процентный
делитель, получим следующее выражение для получения процентов, начисленных для
каждого значения суммы депозита
Ij =
rj/c. (1.22)
Такое представление (1.22) удобно
для расчётов начисляемых процентов.
ПРИМЕР: Пусть величина депозита P, размещенного на срок t = 561 день под процентную
ставку i = 14,7% с периодом начисления
T = 365 дней, изменяется во
времени согласно табл. 1.4. Требуется определить величину начисленных процентов
за весь срок t,
процентные числа rj
и процентный делитель c.
Таблица 1.4
|
Даты поступления/ списания |
Число дней постоянного значения
депозита |
Сумма поступления/ списания, руб. |
База начисления, руб. |
Процентное число rj |
Проценты Ij, руб. |
|
02.01 |
|
25 000 |
|
|
|
|
24.03 |
82 |
42 000 |
25 000 |
2 050 000 |
825,62 |
|
15.08 |
144 |
-2 000 |
67 000 |
9 648 000 |
3 885,63 |
|
17.09 |
33 |
1 420 |
65 000 |
2 145 000 |
863,88 |
|
29.11 |
73 |
-13 403 |
66 420 |
4 848 660 |
1 952,75 |
|
03.01 |
35 |
4 004 |
53 017 |
1 855 595 |
747,32 |
|
06.04 |
93 |
-6 877 |
57 021 |
5 302 953 |
2 135,71 |
|
16.07 |
101 |
4 238 |
50 144 |
5 064 544 |
2 039,69 |
c =
2482,993197.