Лекция 2

Дисконтирование и учет
по простым процентным ставкам.
Наращение по учетной ставке

С.А. Сьянов. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Дисконт - разница между ценой финансового обязательства в настоящий момент и стоимостью финансового обязательства при погашении.

Дисконтирование- процесс оценки текущей стоимости суммы, которая будет получена в будущем.

Дисконтирование - процесс обратный наращению. При наращении находится наращенная стоимость S сегодняшних средств P. При дисконтировании же определяется современная (сегодняшняя, текущая) стоимость P будущего платежа S.

Таблица 2.1

Исходная сумма P	RнаращениеR	Наращенная сумма S
Современная стоимость P	┐дисконтирование┐	Будущий платеж S

Продемонстрировать дисконтирование возможно при использовании ставки наращения i, выразив из (1.12) P через S, где для простоты положим t = 0:

S = P ´ (1 + i ´ n) или P = P /(1 + i ´ n), (2.1)

где множитель

L = 1/(1 + i ´ n) (2.2)

называют коэффициентом дисконтирования. Он показывает во сколько раз современная стоимость P меньше будущего платежа S.

Банковский учет (учет векселей)

Классическая операция банковского учета заключается в том, что финансовое учреждение (банк) приобретает платежное обязательство до срока t < t_n его исполнения по цене P меньшей, чем это предусмотрено финансовым обязательством S в момент его исполнения t_n. То есть будущий платеж S приобретается досрочно по некоторой современной стоимости P(t):

P(t) = S - D(t), (2.3)

где

D(t) - величина дисконта в момент времени t.

Данный подход к определению современной стоимости будущего платежа отражает различную ценность денег в различные моменты времени. Очевидно, что по мере приближения к дате исполнения обязательства современная стоимость P(t) должна приближаться к величине будущего платежа S и в момент исполнения обязательства t_n современная стоимость P(t_n) равна величине обязательства S.

С другой стороны, чем раньше (за более долгий срок до исполнения) обязательство предъявляется к исполнению, тем меньше его стоимость. Это обусловлено тем, что раньше полученные денежные средства могут быть направлены в рост.

По аналогии со ставкой наращения i можно ввести учётную ставку дисконтирования d определенную на отрезке времени t_n - t, как отношение величины дисконта D(t) к сумме исполнения финансового обязательства S

d=D(t)/S (2.4)

и преобразовать выражение (2.3) к виду ´

P(t)=S ´ (1- d). (2.5)

При этом величина дисконта за период времени t_n - t равна D(t)=S*d,

где t - дата учёта финансового обязательства, t_n дата исполнения обязательства S.

Если в качестве периода времени t_n - t выбран год T, ставку d называют годовой дисконтной (учётной) ставкой d.

В том случае, если каждый год дисконт одинаковый D= S*d, то современная стоимость P(k) за k лет до исполнения обязательства S очевидно будет равна

P(k)=S ´ (1-d ´ k) (2.6)

где d годовая ставка дисконтирования (рис.2.1).

S

D

D

P(t)

T T T

Рис. 2.1

Данное правило дисконтирования называют простым дисконтированием, а учётную ставку d простой учётной (дисконтной) ставкой.

Дисконтирование на произвольном отрезке времени.

В общем случае время t от даты учёта финансового обязательства до даты исполнения финансового обязательства произвольно и по аналогии со ставкой наращения современная стоимость будущего платежа будет иметь вид

P(t) = S ´ (1-d ´ t/T) (2.7)

где d является годовой учётной ставкой, T период времени (год), на котором определена учётная ставка.

С другой стороны, t можно представить как сумму целого числа лет n и периода времени t , меньшего чем год n ´ T + t, где n =1,2,3,.. целое число лет, t - нецелая часть года. Тогда выражение, определяющее современную стоимость финансового обязательства за срок n ´ T + t до погашения, будет иметь вид:

P(t) = S ´ (1 - d ´ (n + t/T)) (2.8)

где d является годовой учётной ставкой.

Если период времени от момента учёта финансового обязательства до момента погашения финансового обязательства является целым числом лет n, т.е. t = 0 выражение (2.8) будет иметь вид

P(n) = S ´ (1 - d ´ n). (2.9)

Величина дисконта к моменту учёта финансового обязательства соответственно определится как

D = S - P(t) = S ´ d ´ n (2.10)

и равна произведению номинала обязательства S на учётную ставку d умноженные на целое число лет n срока дисконтирования.

При сроках от момента учёта финансового обязательства до момента погашения финансового обязательства меньше года выражение (2.8) принимает вид.

P(t) = S ´ (1 - d ´ t/T) (2.11)

Величина дисконта к моменту учёта финансового обязательства соответственно определится как

D = S-P(t) = S ´ d ´ t/T (2.12)

произведение номинала на учётную ставку, умноженные на отношение срока до погашения к периоду, на котором определёна учётная ставка.

Для процесса дисконтирования, с использованием годовой учётной ставки d можно ввести выражение для определения коэффициента дисконтирования L, показывающего во сколько раз современная стоимость меньше будущего платежа. По аналогии с (2.2) из выражения современной стоимости (2.8) получаем выражение

L = P/S = 1/(1 - d ´ (n + t/T)) (2.13)

для коэффициента дисконтирования. Очевидно, что коэффициент дисконтирования L всегда меньше единицы, поскольку современная стоимость P всегда меньше значения будущего платежа S.

ПРИМЕР 1. Клиент банка приобрел вексель с дисконтом 2500 руб. за 45 дней до погашения. Каков номинал векселя, если при покупке простая учетная ставка составляла 3% годовых (365/365).

Решение: Номинал векселя можно определить из выражения для определения дисконта, откуда следует, что его величина есть отношение произведения дисконта на период, где определена ставка к произведению величины учетной ставки на период до погашения векселя S = D ´ T/d ´ (t₀ - t) = 2500 ´ 365/0,03 ´ 45 = 675 925,92.

ПРИМЕР 2. Определить коэффициент дисконтирования для векселя, учтенного банком за 90 дней до погашения по простой ставке 2,5% годовых (365/360).

Решение: Коэффициент дисконтирования, равный отношению учетной стоимости векселя к его номиналу, определяется выражением 1 - d ´ (t - t₀) = 1 - 0,025 ´ 90/360 = 0,25.

ПРИМЕР 3. Определить время покупки векселя при простой учетной ставке 5% годовых с соблюдением требования приобрести вексель за три четверти номинала (365/365).

Решение6 Коэффициент дисконтирования по данной операции равен 3/4, с другой стороны коэффициент дисконтирования равен разности единицы и произведения учетной ставки на значение срока до погашения, отнесенное к периоду T = 365 дней, на котором определена учетная ставка, т.е. 3/4 = 1 - d ´ (t - t₀)/T = 1 - 0,05 ´ (t - t₀)/365. Откуда срок до погашения в днях будет равен (t - to)/T = (1 - 3/4)/0,05 = 5 ´ 365 = 1 825 дней.

Упражнения

1. Определить доход банка при погашении векселя номиналом 8 400 руб. при его учете по простой ставке 4,5% за 135 дней до погашения. Ответ:239,80 руб.

2. Годовой вексель номиналом 3 600 руб. был учтен банком в середине срока по цене 2 800 руб. Определить значение простой учетной ставки, по которой банк учел вексель. Ответ: 22,22%

3. Найти величину дисконта векселя номиналом 67 500 руб. учтенного по простой учетной ставке 6% за два с половиной года до погашения. Ответ:10 125 руб.

4. Чему равен номинал векселя, если его учли по простой ставке 4% годовых за 69 дней до погашения по цене 5 750 руб. Ответ:5 793,81 руб.

5. Сколько процентов от номинала потеряет вексель в 27 500 руб. при его учете за два года до погашения по простой ставке 7,5% годовых. Ответ: 15%.

6. За какой период времени дисконт векселя номиналом 61 500 руб. достигнет величины 3 050 руб. при простой учетной ставке 11,5% годовых (365/365). Ответ: 157 дней.

7. Современная стоимость векселя при простой ставке 3,8% годовых равна 3 600 руб. и t/T = 5. Какова его современная стоимость, если учетная ставка будет равна 3% . Ответ: 3 777,77 руб.

8. Сравните доходы банка при учете векселя номиналом 15 600 руб. за 402 дня до погашения при простой годовой учетной ставке 7,5% и учете векселя в 20 000 руб. за полтора года до погашения при простой годовой ставке 8,2%. Ответ: доходы во втором случае больше в 1,9 раза.

9. Чему равен номинал векселя, если дисконт за два года до погашения составил 350 руб.при простой годовой ставке 4,6%. Ответ: 3 804,34 руб.

10. По какой простой годовой учетной ставке нужно погасить вексель номиналом 6 450 руб., чтобы за три с половиной года его современная стоимость составила 2 705 руб. Ответ: 16,59%.

Дисконтирование m раз на периоде

Если учет обязательства, согласно оговоренным условиям, осуществляется m раз в течение года (T) по годовой учетной ставке d, то рассуждая по аналогии со случаем начисления процентов m раз за период T (см. лекцию 1 (1.14), выражение (2.4) можно представить в виде

P = S ´ (1 - d ´ k/m), (2.14)

где

m - число периодов дисконтирования за год T;

d - годовая учетная ставка;

k - число лет.

Область допустимых значений

Для универсальности использования и удобства запоминания выражения, определяющего современную стоимость будущего финансового обязательства, выражение (2.8) используют в виде

P = S ´ (1 - d ´ t/T), (2.15)

где

T - временная база учетной ставки d;

t -период времени от момента, в который определяется современная стоимость P, до момента исполнения финансового обязательства S.

Следует отметить, что по смыслу величина современной стоимости финансового обязательства P(t) не может быть отрицательной, т.е. финансовое обязательство S, приведенное к настоящему моменту, должно иметь ненулевую цену P ³ 0. Этот факт накладывает ограничения, например, на значения величины учетной ставки d, т.е.

(1 - d ´ (k + t/T)) > 0 или d < T/t, d < 1/k, (2.16)

иными словами при нарушении условий (2.16) теряется содержательный смысл выражений (2.7-2.9). Условия (2.16) определяют область допустимых значений при дисконтировании, т.е. ограничений на значение ставки d, периода T, где она определена, и величину срока t от учета до исполнения обязательства.

ПРИМЕР 1. Владелец векселя номиналом 100 000 руб. учел его за 90 (360/360) дней до погашения при ставке дисконтирования 20%. Сколько получил владелец векселя?

Решение: Номинал векселя 1 000 000 руб., t/T = 90/360 = 1/4 и d = 0,2. По формуле S = P ´ (1 - d ´ t/Т) получаем P = 1 000 000 ´ (1 - (0,2 ´ 1/4)) = 950 000 руб.

ПРИМЕР 2. Вексель номиналом 10 175 руб., погашаемый через 60 дней, продан банку, который установил 7%-ную норму дисконта. Какой будет выручка?

Решение: Здесь номинал векселя S = 10 175 руб., t/T = 60/365 и простая учетная ставка d = 0,07. По формуле, определяющей современную стоимость векселя P = S ´ (1 - d ´ t) получаем P = 10 175 ´ (1 - (0,07 ´ 60/365) = 10 057,92 р.

ПРИМЕР 3. Клиент намеревается получить ссуду в сберегательном банке на 120 дней. Если банк начисляет проценты по ссуде по учетной ставке 6,5%, каковы расходы клиента, если он получил на руки 100 000 руб.?

Решение: Нам нужно определить общую сумму долга по ссуде S в конце срока, имея следующие данные: исходная задолженность P = 100 000 руб., срок t = 120, ставка определена на периоде T =360, t/T = 1/3 и простая учетная ставка d = 0,07. Из формулы, определяющей современную стоимость общей задолженности при использовании учетной ставки d, имеем P = S ´ (1 - d ´ t/T), что дает выражение для определения искомой величины S = P/(1 - d ´ t/T) = 100 000/(1 - (0,07/3)) = 97 666,67 руб.

Замечание:

Простой дисконт d так же как простой процент i обычно используется только для краткосрочных периодов, как правило, не превышающих года. При дисконтировании часто используют термин <норма дисконта> d (учетная ставка, процент банковского дисконта), хотя большое расхождение терминологии в различных текстах и финансовых учреждениях затрудняет временами понять, какая же норма упоминается - норма процента i или норма дисконта d. Нередко в финансовой литературе фигурирует и термин: <процент авансом>, который означает банковский дисконт d, и его не следует путать с процентом (нормой процента, ставкой наращения) i, который фигурирует при операциях наращения.